汤涛:圆周率计算与现代计算数学

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  • 语  言:中文简体
  • 类  型:视频
  • 学科类别:自然科学(数学)
  • 作  者:汤涛
  • 主题分类:其他 
  • 对  象:高中生
  • 适用学段:从高中一年级到高中三年级
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  • 版权单位:中国科协青少年科技中心
  • 版权声明:仅限公益使用,禁止商业应用。
  • 资 源 包: 汤涛:圆周率计算与现代计算数学
  • 标  签: 汤涛 圆周率 计算 现代计算数学
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讲者信息:

汤涛:中国科学院院士、南方科技大学副校长,曾获国家自然科学二等奖。

讲座内容:

1.从古代科学家谈起

古代科学家以几何方法,即内接多边形面积逼近圆面积的方式计算圆周率。祖冲之算得小数点后六七位;千年后,荷兰数学家鲁道夫以同样方式用毕生时间算得35位有效数字。后来许多关于圆周率的书成为中学生的数学启蒙材料。

2.漂亮但不实用的公式

继几何方法后,出现了计算π的解析方法。韦达最早用解析方法得到了一个关于π的恒等式,后来瑞士数学家欧拉发现了一个用素数来表达π的恒等式,但这两个恒等式都不实用。莱布尼茨公式是第一个较有效的通过加减乘除计算π的公式,类似的有欧拉公式。因这些公式计算量大,效率极低,于是出现了计算效率高的修正公式。伯努利对修正公式贡献很大,用递推方式来计算修正项,后来爱达编写程序实现了该算法。

3.适合计算机的迭代法

计算机运算速度快,适合做重复性操作。以计算√2为例介绍迭代算法基本思想,用包含xk的公式表示xk+1,因为此例中该算法为二次收敛,所以迭代算法表现出高效率和高精确度的性质。

4.阿基米德-刘徽迭代算法

根据阿基米德关于内接正多边形周长≤2π≤外切正多边形周长的思想,得到计算内接和外切正多边形的周长的迭代方法,此方法为线性收敛,即经一两次迭代即可提高一位有效数字,收敛速度太慢,无法达到现代的高精度要求。

5.迭代法的现代应用

二分法和牛顿法都是迭代算法的现代应用。二分法通过不断把区间一分为二的方式使区间两端点逼近所求的根,速度较慢;牛顿法用函数的切线与x轴交点的横坐标近似根,收敛速度较快。

6.效率奇高的现代算法

Brent-Salamin算法是效率奇高的现代算法,一次迭代即可得到3.14,2011年IBM超级计算机利用该算法给出了π的小数点后60万亿位。该算法的二次收敛性质可被严格证明。

7.高精度自适应算法

自适应算法精度高,以偏微分方程为例,有限元方法需计算1千亿节点才能使计算误差降到0.1以下,而自适应算法仅需两千多个节点。有限元算法被应用于汽车与飞机设计,将三维物体转化为网格点,从而进行快速的数学模拟运算。

8.中国数学领域的发展

中华民族历史上对计算有非常大的贡献,英国皇家学会院士列出了历史一段时间内的29个重大算法,其中两个与中国科学家有关,刘徽是世界上第一个提出求解线性方程组的高斯消去法的科学家,冯康先生提出了工程中应用极广泛的有限元法。中国还需要在数学领域做出更多首创性的工作,才能成为世界数学大国。

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